11．1（1）直线方程（点方向式）
一、教学目标
理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。
二、教学重点及难点 重点
1.理解直线的方向向量概念
2.能根据已知条件求出直线的点方向式方程 3.理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系
4.通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义 难点
理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。
三、教学过程 回顾
在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。讲授新课
（一）直线方程
定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足（1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0；（2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上。那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程。
从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程f(x,y)0的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。
《直线的方程》教案
一、教学目标
知识与技能：理解直线方程的点斜式的特点和使用范围
过程与方法：在知道直线上一点和直线斜率的基础上，通过师生探讨得出点斜式方程 情感态度价值观：养成数形结合的思想，可以使用联系的观点看问题。
二、教学重难点
教学重点：点斜式方程
教学难点：会使用点斜式方程
三、教学用具：直尺，多媒体
四、教学过程
1、复习导入，引入新知
我们确定一条直线需要知道哪些条件呢？（直线上一点，直线的斜率）
那么我们能不能用直线上这一点的坐标和直线的斜率把整条直线所有点的坐标应该满足的关系表达出来呢？这就是我们今天所要学习的课程《直线的方程》。
2、师生互动，探索新知
探究一：在平面直角坐标系中，直线l过点p（0,3），斜率k=2，q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，如ppt上图例所示。通过上节课所学，我们可以得出什么？
由于p,q都在这条直线上，我们就可以用这两点的坐标来表示直线l的斜率，可以得出公式：y-3x-0=2 那我们就可以的出方程y=2x+3 所以就有l上的任意一点坐标（x,y）都满足方程y=2x=3,满足方程y=2x+3的每一个（x,y）所对应的点都在直线l上。
因此我们可以的出结论：一般的如果一条直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x,y）所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为l的直线方程，因此，当我们知道了直线上的一点p（x,y），和它的斜率，我们就可以求出直线方程。
3、知识剖析，深化理解
我们刚刚知道了如何来求直线方程，那现在同学来做做这一个例子。设 q(x,y)是直线l上不同于点p的任意一点，由于点p,q都在l，求直线的方程。设点p（x0，,y0），先表示出这个直线的额斜率是y-y0x-x0=k，然后可以推得公式y-y0=k(x-x0)那如果当x=x0，这个公式就没有意义，还有就是分母不能为零，所以这里要注意（x不能等于x0）
1）过点，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？ p(x0,y0)
(x0,y0)，斜率为k的直线l上吗？ 2）坐标满足方程（1）的点都在经过p那么像这种由直线上一个点和一个斜率所求的方程，就称为直线方程的点斜式。直线的点斜式是不是满足坐标平面上所有的直线呢？
小组讨论：当直线与x轴垂直时，倾斜角为直角时，直线方程怎么写？（y-y0=kx）当直线与y轴垂直时，倾斜角为零时，直线方程怎么写？（y=k(x-x0)那我们带入与x垂直的一条线上的坐标（3,0）（3,1），斜率为k，算出（y=3k,y=3k+1）
点斜式就不满足这个条件的直线，大家子啊照例做做下一个，还是不一样是吧，这个点斜式不能满足。（它只能满足斜率存在的直线。）
4、巩固提高：做一做习题1的第一小题：经过点p（1,3）斜率为1,求出方程，并且画图。（y=x+2）
5、课堂小结：这节课我们学习了直线方程的点斜式方程，知道了这种方程也有他的局限性，就是不使用斜率不存在的直线，那怎么办呢？我们下节课继续学习。课后大家预习后边的内容，巩固今天所学习的知识。
6、板书：点斜式的概念及图形。
［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识。现在，我们来回顾一下它们的基本形式。点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线。斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；
两点式的基本形式：直线；
截距式的基本形式：
yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。
那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程。那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）ax＋by＋c＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线。那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。
1.直线和二元一次方程的关系
（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程。一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成ax＋by＋c＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和ax＋by＋c＝0比较发现什么？a=k b=-1 c=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和ax＋by＋c＝0比较发现什么？a=1 b=0 c=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时\\候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。
（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。因为x，y的二元一次方程的一般形式是ax＋by＋c＝0，其中a、b不同时为0，在b≠0和b＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－
acx和表bbc.a也就是说ax＋by＋c＝0（a，b不同时为零）大家想想如果ab都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？by＝-ax-c 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程。在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线。根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式。我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。
定义：我们把关于x,y的二元一次方程ax+by+c=0（其中a,b不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说a=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如ab都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。
［例1］已知直线经过点a(6，－４），斜率为－
4，求直线的点斜式和一般式方程。3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点。解：经过点a(6，－４)，并且斜率等于－
4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列。
11．1（２）直线方程（点法向式）
一、教学目标
在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力。
二、教学重点及难点
本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程。
本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。
三、教学过程 复习上一堂课的教学内容 讲授新课
（一）点法向式方程
1、概念引入
从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点p，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点p，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。
2、概念形成 直线的点法向式方程
在平面上过一已知点p，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设p的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？ 直线的点法向式方程的推导
设直线l上任意一点q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故pqn.根据pqn的充要条件知pqn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为q1，可知pq1n，即q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。
我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。
3、例题解析