平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。
通过本节的学习，要让学生掌握
（1）：平面向量数量积的坐标表示。
（2）：平面两点间的距离公式。
（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。
以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。
在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：
（1）启发式教学法
因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。
（2）讲解式教学法
主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！
主要辅助教学的手段（powerpoint）
（3）讨论式教学法
主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。
学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！
五：说教学过程
这节课我准备这样进行：
首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？
继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？
引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：
（1） 模的计算公式
（2）平面两点间的距离公式。
（3）两向量夹角的余弦的坐标表示
（4）两个向量垂直的标表示的充要条件
第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。
例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。
再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。
然后是学习小结（由学生完成）
最后作业布置！
1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题
2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点
平面向量数量积的坐标表示及应用
教学难点
探究发现公式
1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。
2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。
改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。为了实现这一目标，本节教学让学生主动参与，让学生动手，动口、动脑。通过思考、计算、归纳、推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。具体体现在：1、通过提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，使学生在自主探究中发现了结论，推广了命题，使学生感到成果是自己得到的，增强了成就感，培养了学生学好数学的信心和良好的学习动机。2、通过数与形的充分挖掘，通过对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养了学生数形结合的数学思想，教给了学生类比联想的记忆方法。
本节课分为复习回顾、定理推导、引申推广、例题讲析、练习与小结五部分。
复习回顾部分通过两个问题，复习了与本节内容相关的数量积概念，为本节内容的学习作了必要的铺垫。
定理推导部分通过设问，引出寻求向量的数量积的坐标表示的必要性，引入课题，并引导学生应用前述知识共同推导出数量积的坐标表示。
引申推广部分，让学生自主推导出向量的长度公式，向量垂直条件的坐标表示、夹角公式等三个结论，强化了学生的动手能力和自主探究能力。
例题讲析，通过四道紧扣教材的例题的精讲，突出了结论的应用，也起到了示范作用。
练习及小结：通过练习题验收教学效果，突出训练主线，小结部分画龙点睛，强调本节重点。再结合课后作业，进一步实现本节课的教学目的。同时小结也体现主体性，由教师提出问题学生总结得出。
1．教材的地位和作用：《实数与向量的积》这一章在高中阶段有着很重要的作用。有广泛的实际应用，在整个中学数学里起着承前启后的作用。并且是培养学生数学能力的良好题材。实数与向量的积是向量的重要组成部分，在前面学习了向量的加法和减法，掌握好实数与向量的积这一运算的关键在于明确这一运算的结果仍然是向量，要按大小和方向两个要素去理解及应用。
向量共线充要条件实际上是由实数与向量的积的定义得到的，利用它常可以解决三点共线和两直线平行等问题。能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视。
同时，这节课的教学过程对进一步培养学生观察、分析、类比、化归的思想和归纳问题的能力具有重要意义。
2．教材的处理：结合教参与学生的学习能力，我将《实数与向量的积》安排了2节课。本节课是第一课时。因为在前面学习了向量的加法和减法。为了进一步体现化归思想在高中数学中的运用，我在这节课中也着重体现了化归思想的运用。
3、教学重点与难点：根据学生现状、及教学要求我确立本节课的教学重点为：理解实数与向量的积的定义及其运用。
本节课的难点定为：对向量共线的充要条件的理解
要突破这个难点，关键在于紧扣定义，讲清向量平行与直线平行的区别。
4、教学目标的分析
根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的知识水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为三个方面：
(1)知识教学目标：
使学生在掌握实数与向量的积的定义、运算律的基础上，理解向量共线的充要条件，并能用来解决一些实际问题。
(2)能力训练目标：
培养学生运用类比化归的方法去发现并解决问题的能力。使学生认识到化归思想在数学中的重要性。
(3)德育渗透目标：
使学生认识到事物之间的相互联系和辨证统一；增强学生的应用意识；提高学生的数学素质
现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈——控制’的同时，每个学生也都在进行着微观的‘反馈——控制’。”由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效，故本节课采用“发现式教学法、类比分析法”来组织课堂教学。这堂课用化归的方法运用向量共线的充要条件是一种较好的学法。 在这节课中涉及到了数学中的一种思想方法，即类比思想。数学思想方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，正确地运用数学思想方法，能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，体现数学学科的特点，形成良好的数学素养。
我在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，并引导学生进行类比，充分体会到类比思想的精髓。
第1环节、引入新课：实数与向量的积的定义
第2环节、知识运用：实数与向量的积的运算律。
第3环节、升华提高：理解并证明向量共线定理。
第4环节、性质的运用。我针对向量共线定理设计了两个例题，从正反两个方面体现了定理的实际运用，符合学生的认知过程。在讲解这些例题时着重体现向量共线充要条件的运用。在性质的运用过程中要特别强调向量平行与直线平行的区别。在例题后我还预留了习题时间，用以巩固本节课所学。
第5环节、小结：
第6环节、布置作业：
《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。
学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。
2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。
3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。
重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。
设计原理运用了由特殊到一般的认识、思维过程，
难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形。
本节采用以下教学方法：
1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。
2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。
3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。
4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。
1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。
2、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。
3、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。
1、知识回顾：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量与数量的区别、响亮的表示、相等向量概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。
2、新课讲解（1）向量加法的定义
①向量加法的三角形法则边形法则共线向量的加法
方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，“将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。”引导学生分析作法，结果发现还是
运用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。但是学生学过有理数加法中的异号两数相加：“异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。”类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。
非共线向量的加法
②向量加法的平行四边形法则（2）向量加法的运算律
①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。
②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。
接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。
设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。
3、例题讲解例
1、例2 4.课堂练习
5、小结
先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。
（1）三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。
（2）平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。（3）运算律
交换律：+ = +
结合律：（+）+ = +（+）
4、作业：p91，a组
1、
2、。
今天我说的课题是“向量的直角坐标运算”，主要研究两类问题：
本节的授课内容为“向量的直角坐标运算”，选自人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）第一册第六章第六节，我从四个方面进行教材分析。
向量的直角坐标运算是向量的重要内容，它使向量的运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，使得用向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。
同时，这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。
结合教学参考书和学生的学习能力，我将“向量的直角坐标运算”安排为两课时。本节为第二课时。
根据目前学生的状况以及以往的经验，我发现，虽然这节课的内容比较简单，但由于以前教师讲解得过多，导致学生丢失了很多重要的知识。为了激发学生的学习热情，我采用复习提问的形式，师生共同得出向量线性运算的直角坐标运算法则和一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去始点相应坐标的结论，直接切入本节课的知识点。之后，由浅入深、由低到高地设计了三个层次的问题，逐步加深学生对向量直角坐标运算的记忆和理解。
由此，我对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。
根据学生现状、教学要求以及教材内容，我确立本节课的教学重点为：使学生熟练地掌握向量的直角坐标运算。
由于学生的实际情况──运用所学知识分析和解决实际问题的能力较差，我把本节课的难点定为：向量直角坐标运算的应用。
要突破这个难点，关键在于紧扣向量直角坐标运算的相关知识，去发现解决问题的方法。
根据教学要求、教材的地位和作用以及学生现有的知识水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面。
能准确表述向量线性运算的坐标运算法则；明确一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去始点的相应坐标；掌握用向量的直角坐标运算解决平面几何问题的方法。
培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力；培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。
通过学习向量的直角坐标运算，实现几何与代数的完全结合，让学生明白：知识与知识之间、事物与事物之间的相互联系和相互转化；通过例题及练习的学习，培养学生的辩证思维能力，养成勤于动脑的学习习惯。
现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师进行‘反馈—控制’的同时，每个学生也都在进行微观的‘反馈—控制’。”由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构才有成效，故本节课采用“发现式教学法”来组织课堂教学。这样，可充分调动学生的学习积极性和能动性，突出学生的主体作用。
在教学中借助于计算机课件辅助教学。
共分为六个环节，具体的时间安排如下：复习提问约4分钟，导入新课约6分钟，创设问题约30分钟，小结约3分钟，布置作业约2分钟。
（1）向量在直角坐标系中坐标的定义是什么？
（2）若o为原点，则点a的坐标与向量的坐标之间的关系是什么？
（3）如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件？
课堂教学论认为：“要使教学过程最优化，首先要把所学习的知识和学生已有的信息联系起来”。通过这三个问题的复习就可以使学生在学习新的知识前，获得适当的知识积累。
在教学过程中，我提出两个问题：
问题1 已知a=a1e1+a2e2，b=b1e1+b2e2，（e1、e2为直角坐标系的基底）
1、则a，b的坐标为……。
2、求a+b，a—b，λa。
3、求a+b，a—b，λa的坐标。
问题2已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）。
1、则，的坐标分别为……。
2、化简。
3、求的坐标。
这两个问题由师生共同练习完成。
通过师生间的相互讨论、相互启发、相互合作，达到温故知新的目的，也由低级到高级的认知顺序引出本节课的知识点，这很自然，学生比较容易接受，容易激发学生发现向量直角坐标运算规律的强烈欲望。
这是本节课的核心。根据循序渐进、由浅入深的教学原则，我设计了三个层次的问题。
：先由师生共同归纳总结由问题1、2得出的结论，培养学生观察、分析、比较、归纳的能力。
由问题1我们得到结论1：
a+b=（a1+b1，a2+b2），
a—b=（a1—b1，a2—b2），
λa=（λa1，λa2）。
两个向量的和与差的坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差。
数乘向量的坐标等于数乘向量相应坐标的积。
由问题2我们得到结论2：
=（x2—x1，y2—y1）。
一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标。
这两个结论是向量直角坐标运算的规律，为本节的知识点。为加深认识，我又安排了练习1。
练习1（口答）下列说法是否正确：
（1）已知向量a=（—2，4），b=（5，2），
则：①2a=（—4，4），2b=（5，4）。②2a=（—4，8）。
（2）已知a（2，1），b（3，8），则=（—1，—7）。
①让学生注意数乘向量的坐标等于数乘向量相应坐标的积。
②提醒学生区分点的坐标和向量坐标，两者是不同的概念。
上述（2）小题让学生明确一个向量的坐标等于向量终点坐标减去始点的相应坐标，而不等于始点坐标减去终点的相应坐标。
设计练习2、3、4。
练习2 已知如下向量a、b，求a+b，a—b，3a+4b，4a—4b的坐标。
（1）a=（—2，4），b=（5，2）；
（2）a=（4，3），b=（—3，8）。
练习3 已知a（2，1），b（3，8），求。
练习4 已知（2，3），b（4，5），c（6，8）。
（1）若3=，求d点的坐标。
（2）求2—3+2。
这组练习由学生独立完成。目的是使学生进一步掌握向量的直角坐标运算和向量相等的条件，也体会到对于两个向量相加减的直角坐标运算法则可以推广到有限个向量相加减。对于练习4中的（2）让学生认识到先进行向量线性运算几何形式的化简，再进行代数运算比较好，也感受到几何与代数密不可分。
：遵循深入浅出的教学原则，我安排了例题1和练习5，这是本节课重点知识的应用。
例题1 已知平行四边形abcd的三个顶点a、b、c的坐标分别是a（—2，1），b（—1，3），c（3，4），求顶点d的坐标。
例题1有多种解法，除了课本中给出的由向量线性运算的几何形式向代数形式转化的方法，还可以利用向量=或=列方程求解，也可以利用线段ac、bd的中点e的向量表达式进行等量转化以求出d点的坐标。但不论哪一种解法都用到了一个很重要的数学方法──数形结合。
讲这个题时，我板书采用的是课本给出的方法，目的是引导学生熟练地转化向量线性运算的几何形式和代数形式，其他的方法则只是给予提示，给学生留出空间，开阔思路，培养学生的发散思维能力。
通过例题1让学生深刻理解向量的直角坐标运算，亲身体会“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非”（华罗庚语）。从而提高学生利用数形结合的方法解决实际问题的能力。
练习5已知a（—2，1），b（1，3），求线段ab中点m和三等分点p、q的坐标。
练习5是例题1的进一步深入，学生以小组讨论的形式，采用多种方法解题，教师以巡视的方式进行个别引导，并让有不同解法的学生上黑板演示，让学生动手实践、自主探索、合作交流，围绕中心各抒己见，把思路方法弄清。
通过这个练习，学生可以更熟练地掌握向量直角坐标运算的应用，并使集体智慧个人化，书本知识灵活化，同时培养学生独立思考的能力和团结协作的精神。
为了让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，同时培养学生归纳总结的能力及练习后进行再认识的能力，引导学生对本节课进行总结：
向量的直角坐标运算使向量运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题就可以通过“数形结合”的方法转化为大家熟悉的数量的运算。
为了让学生进一步巩固本节课内容，提高自觉学习的能力，我布置作业如下：
1、课本第186页：练习a1（1）、2（1）；练习b 1、2。
2、思考题：3a与a的坐标有什么关系？位置有什么特点？
a组的题用来巩固向量的直角坐标运算，b组的题则让学生进一步掌握向量直角坐标运算的应用，思考题又为下一节课的内容埋下伏笔。
在黑板中上方书写完课题后，将版面分为四部分，从上而下，自左向右，按授课顺序书写授课内容，达到清晰、条理、有序的目的。板书内容如下：
课题：6、2、2 向量的直角坐标运算
问题1练习1 例1 练习5
结论1练习2
问题2练习3
结论2练习4
本节的说课内容到此结束，谢谢大家。
各位老师好：
我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件。
教学重难点的确定与突破：
根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。根据学情，所以我将指导通过“自学，探究，模仿”等过程完成本节课的学习。
(一) 知识梳理：
1.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则
＝_________________
||＝_______________
（二）平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量
设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则
+ ＝ － ＝ λ ＝ ．
2.向量平行的坐标表示
设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则 ∥ ________________.
（三）核心考点习题演练
考点1.平面向量的坐标运算
例1.已知a(-2,4),b(3,-1),c(-3,-4).设 (1)求3 + -3 ;
(2)求满足 =m +n 的实数m,n;
练：（20xx江苏，6)已知向量 =(2,1), =(1,-2),若m +n =(9,-8)
(m,n∈r),则m-n的值为 .
考点2平面向量共线的坐标表示
例2:平面内给定三个向量 =(3,2), =(-1,2), =(4,1)
若( +k )∥(2 - ),求实数k的值；
练：(20xx，四川，4)已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4).若λ为实数，( +λ )∥ ,则λ= ( )
思考：向量共线有哪几种表示形式？两向量共线的充要条件有哪些作用？
考点3平面向量数量积的坐标运算
例3“已知正方形abcd的边长为1,点e是ab边上的动点，
则的值为 ; 的最大值为 .
【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷。
练：(20xx,安徽，13）设 =(1,2), =(1,1), = +k .若 ⊥ ,则实数k的值等于( )
【思考】两非零向量 ⊥ 的充要条件： =0 .
考点4：平面向量模的坐标表示
例4：(20xx湖南，理8)已知点a,b,c在圆x2+y2=1上运动，且ab⊥bc,若点p的坐标为(2,0),则的最大值为( )
a.6 b.7 c.8 d.9
练：（20xx，上海，12）
在平面直角坐标系中，已知a（1，0），b（0，-1），p是曲线上一个动点，则 的取值范围是？
1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备
重点：对平面向量基本定理的探究
难点：对平面向量基本定理的理解及其应用
4.1第一学时教学活动
活动1【导入】情景设置
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j．
活动2【活动】探究
已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量
c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）
做法：
作oa＝e1，ob＝e2，oc＝c，过点c作平行于ob的直线，交直线oa于m；过点c作平行于oa的直线，交ob于n，则有且只有一对实数l1，l2，使得om＝l1e1，on＝l2e2．
因为oc＝om＋on，所以c＝6 e1＋6e2．
向量c＝__6__e1＋___6__e2
活动3【练习】动手做一做
请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____
（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）
由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2．
活动4【活动】思考
问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗？
生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量
活动5【讲授】平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2．我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝l1e1＋l2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．
说明：
（1）基底不惟一，关键是作为基底的两个向量不共线．
（2）由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解，基底给定时，分解形式惟一，即l1，l2是被a，e1，e2惟一确定的数量．
活动6【讲授】平面向量基底运用
例1. 如图所示，平行四边形abcd的对角线ac和bd交于点m，ab＝a，ad＝b，试用基底a，b表示mc，ma，mb和md
活动7【讲授】向量夹角的定义
阅读教材p94，回答如下问题：
1、两个向量夹角是如何形成的？，必须要满足什么条件才是它们的夹角。
2、有向量夹角范围是多少？有夹角大小来描述一下向量同向，反向，垂直？
活动8【练习】完成《聚焦课堂》活动9【讲授】课后小结
1、平面向量基本定理
2、平面向量基本定理的运用
3、向量夹角的定义。
活动10【作业】课后作业
1、已知向量e1，e2，求做：-3e1+2e2
2、做育才报第八期专项训练1
各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教b版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析
1、关于教材内容的分析
（1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。
（2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它也为平面向量坐标表示的学习打下基础。
（3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。
2、关于教学目标的确定
根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。
1、①了解平面向量基本定理及其意义，会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式
2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力
3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。
3、重点和难点的分析
掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。
结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。
此模式的流程为激发兴趣——发现问题，提出问题——自主探究，解决问题——自主练习，采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。
学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。
学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、
向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》，计划安排两节课时，本节课是第2课时。也就是，在有了平面向量数量积公式，空间向量坐标表示，以及空间向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式，然后，围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。
通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
知识目标：① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；
② 运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标：① 比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；
② 探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度、价值观目标：
① 通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；
② 通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
重点：空间向量数量积公式及其应用。
难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题。
教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；
学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。
根据二期课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本面；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。以下，是我制定的教学流程：
创设情境，提出问题 类比猜想，探求新知 公式运用，巩固提高 回顾小结，整体感知 课外探究，激发热情
教学过程如下：
给出问题一：已知在正方体abcd-a1b1c1d1中，ae=ea1，
d1f= ，如何确定 的夹角？
[设计意图]：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。
[处理过程]：
设问：平面向量的夹角问题如何求得的？
是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？
学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示；类比猜想，认识空间向量的夹角问题。
对于空间两个非零向量
1、问题一的解决：
①学生活动：解决上述问题。
②.变式运用：已知在正方体abcd-a1b1c1d1中，
ae=ea1，d1f= ，求be、fd所成的角？
[设计意图]：初步体会立几法、向量法来解决几何问题，并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。
[处理过程]：（由以往教学实践，部分学生可能想到用传统的几何方法）
设问：如何用向量方法求be、fd所成的角？
（引导学生建立空间直角坐标系，求得b、d、e、f的坐标，进一步得到 的坐标，最后代入空间向量夹角公式…计算得出的向量夹角是钝角，而异面直线成锐角。）
[评价]：
① 异面直线所成的角可由向量的夹角来解决，可见，解决立体几何的有关问题时，方法并不唯一。在此，可以比较向量法和几何法，选择适当方法，解决问题。
② 两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别的。
2.问题二的探究：
如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，∠acb=90°，
ac=1，cb= ，侧棱aa1=1，侧面aa1b1b的
两条对角线交点为d，b1c1中点为m。
（1）求证：cd⊥平面bdm；
（2）求面b1bd与面cbd所成二面角的大小。
[设计意图]：通过立几法、向量法的尝试，让学生明显感受到运用向量法的优越性。
[处理过程]：
① 学生活动：让学生先试行用传统方法解决问题，估计不少学生会感到有一定困难。
[设问]：类似于上题做法，能否用向量法解决这一问题？
② 学生活动：进入思考讨论
③ 相互分析交流——达成共识：
（i） 证明线面垂直可转化为证线线垂直，进一步转化为证向量间的垂直，即向量的数量积等于零；
（ii） 求二面角的平面角，转化为求那两条与二面角的棱垂直的射线所成的角，在此，可构造两向量（提醒其方向，及向量始点的自由、不唯一性），然后求其夹角，从而解决问题。
④ 解题过程：
[评价]：“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作，求解的关键在于建立适当的空间直角坐标系（基本原则：使图中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于用坐标表示相关的点及向量），然后利用坐标系确定各相关的点及向量坐标，再借助向量坐标运算法则及公式，无需添加辅助线，即可达到解题的目的。
3.小结，利用空间向量解决立体几何中有关问题的一般步骤：(学生回答，教师补充，板书)
（1）适当地构建空间直角坐标系；
（2）用坐标表示相关的点、空间向量；
（3）进行空间向量的运算；
（4）体炼共性，转化为几何结论。
引导学生总结本节课的收获，相互交流。
（这是20xx年高考题）如图，已知平行六面体abcd-a1b1c1d1的
底面abcd是菱形，且∠c1cb=∠c1cd=∠bcd=60°，
当 的值是多少时，能使a1c⊥平面c1bd，请给出证明。
[设计意图]：这是20xx年高考第18题第3小题，是个探索型问题。把它放在这里，一方面：在高二阶段，接触到高考题，学生的兴趣颇高，可调动学生的学习热情，增强学生的主体意识；另一方面，解题中，再次让学生感受到：单纯用立体几何知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。
[板书设计]
课题引入： 问题一的解决： 课外探究：
空间向量数量积、夹角公式：
问题二的解决： 布置作业：
用向量解几何题的步骤：
本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；另外，课外探究题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。