已知x大于0，y大于0，且2x+5y=20求lgx+lgy的最大值
方法一：
因为lgx，lgy有意义
所以x>0,y>0
由均值不等式
2x+5y≥2√(2x*5y)=2√(10xy)
即20≥2√10xy
解得xy≤10
lgx在（0,+∞）上是单调增函数
lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1
所以lgx+lgy的最大值为1
方法二：
由2x+5y=20的x=(20-5y)/2
xy=(20-5y)(y/2)=-(5/2)(y-2)^2+10
当y=2时，xy有最大值10
即xy≤10
lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1
所以lgx+lgy的最大值是1
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 [
1、 已知等差数列｛an｝满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
2、在等差数列｛an｝中，a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为____
3、在等差数列｛an｝中，Sn=n平方+3n+C则S5等于
A.15 B.25 C.40 D.不能确定
4、设数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8,则下列结论中错误的是
A.dS5 D.S6和S7均为Sn的最大值
5、已知在等差数列｛an｝中，a1=1,S3=6,则a5的值为____
6、已知等差数列｛an｝的通项公式是an=kn-3,并且它的第8项是-7，则它的第14项是____
7、已知等差数列｛an｝的公差为1，且a1+a2+a3+…+a99=99,则a3+a6+a9+…+a99=____
8、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列｛an｝是等和数列，且a1=2,公和为5，那么a18的值为____,这个数列的前n项和Sn的计算公式为_____
1、在等差数列{an}中，已知a5=-1，a8=2求a1于d
2、在等差数列{an}中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2×a5=52，求此数列的通项公式
3、设一元二次方程（b-c)x∧2+(c-a)x+a-b有两个相等的实根。求证：abc互为等差数列
http:///math/Article_Show.asp?ArticleID=107
已知数列{an}是等差数列，设ｂｎ＝ａ²n+1－ａ²n证明：数列｛ｂn｝是等差数列
思路：这个题的方法和上课讲的方法是一致的，你没有做出来，是因为忽略了数列{an}是等差数列这个条件，这个条件就以为着对于{an}来说，前后两项的差为常数
证明：设等差数列{an}的公差为d
bn1bn
2222(an2an1)(an1an)
(an2an1)(an2an1)(an1an)(an1an)
d(an2an1)d(an1an)
d(an2an1an1an)
d(an2an)
d2d
2d2
⊙已知函数ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋4）÷ｘ （1）若对任意的ｘ1属于【1，3】，存在ｘ2属于【1，3】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。
（2）若对任意的ｘ1，ｘ2属于【1，3】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值范围。思路：第2问是恒成立问题，你说的对，第一个问不是。因为是“存在ｘ2”，所
以应该满足的条件是f(x)的最大值大于等于g(x)的最大值，f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值，解：f(x)通过求导可求得值域为f(x1)[2,30]，g(x2)x4a[4a,5a] x
305a所以（1）解不等式，解不等式即可 24a
（2）25a，解不等式即可
⊙设ｍ属于Ｒ，在平面直角坐标系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋1），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－1），向量ａ⊥向量ｂ，动点Ｍ（ｘ，ｙ）的轨迹为Ｅ。
已知ｍ＝1／4，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹Ｅ恒有两个交点Ａ，Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ(Ｏ为坐标原点），并求出该圆的方程。
思路：该题就是一个“直线和圆锥曲线相交”的问题，方法是韦达定理法。关于解析几何的大题，我会在寒假的时候，重点训练大家的，这种题的特点是运算量大，思路倒是没有什么问题。先根据向量垂直，求出M的轨迹方程为椭圆。然后在根据圆的性质：切点与圆心的连线与切线垂直，切点与圆心的距离等于半径，再加上向量垂直，即可求解。
12x2
222y21 解：bxy10x4y444
设圆的切线的切点坐标为P(x0,y0)，则k0Py0x，因为OP和AB垂直，所以kAB0，x0y0则设直线AB的方程：yy0x0(xx0)带入到椭圆方程中，得： y0
2(y04x0)x8x0rx4r4y00x1x2222248x0r2
y04x022,x1x24r44y0y04x0222
r2x0x1r2x0x2又因为0A0Px1x2y1y20x1x2（)(）0y0y0
x1x2r2x0(x1x2)0
将上面求得的x1x28x0r2
y04x022,x1x24r44y0y04x0222带入到上式中，整理可求得
r24422，即圆的方程为xy 55
⊙设ａ＞1，则双曲线ｘ²÷ａ²－ｙ²÷（ａ＋1）²＝1的离心率ｅ的取值范围是？ a2(a1)21解：e2a25 aa
总结；最后求范围是根据对勾函数求的，如果不懂，可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。
数列专题
朱立军
1、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)． (1)求数列{an}的通项公式an；
（2）设数列
1a 的前n项和为T1
1n，求证：nan＋15≤Tn＜
42、设数列a
2n1n满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3an
＝n
3，a∈N*。(1)求数列an的通项； (2)设bn
n＝
a，求数列bn的前n项和Sn。 n3、在数列{a*
n}中，a1＝3，an＝－an-1－2n＋1 (n≥2且n∈N)。(1)求a2，a3的值；
（2）证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn.
4、已知数列{a项和S1211*
n}的前nn＝2n
2，数列{bn}满足bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N)，且b3＝11，前9
项和为153.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设com＝
3n
－
n
－，数列{com}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．
5、已知点(1,2)是函数f(x)＝ax
(a＞0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝logaan+1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
6、已知数列{aa*
n }中，1=2，对于任意的p,q∈N，都有apqapaq. (1)求数列{an}的通项公式；
（2）令b*
*
n＝ln an (n∈N)，是否存在k(k∈N)，使得bk、bk+
1、bk+2成等比数列？若存在，求出所
有符合条件的k的值，若不存在，请说明理由； (3)令com＝
1aa，S{c*n
n为数列n}的前n项和，若对任意的n∈N，不等式tSn 1立，求实数t的取值范围． 7、已知数列{a满足：a2n n}和{bn}1＝λ，an+1＝ 3an＋n－4，bn＝（－1）(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。(1) 对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； （2） 试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。 数列专题答案 1．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n， 即an＋1－an＝4.∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴an＝4n－3. （2）证明 T11111 11n＝a＋…＋＋1 1a2a2a3anan＋11×55×99×13 － ＋ 1－***14n－3－14n＋1 ＝114 1－4n＋11＜4. 又易知T111 n单调递增，故Tn≥T1＝5，得5≤Tn 42．解析：(1)a 2an-1 n 1＋3a2＋33＋…＋3an＝3 ① a＋3a＋32aan1n-1 11123＋…＋3n-2 n-1＝3 ②， ①-②得3an =3,所以an3 n(n≥2)。 经过验证当n=1也成立，因此a1 n3 n. （2） bna=n3n,利用错位相减法可以得到S(2n1n＝ n)3n13. n 443．(1)解：∵a* 1＝3，an＝－an－1－2n＋1 (n≥2，n∈N)，∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝ 1、 (2)证明 ∵an＋n－an－1－2n＋＋n aa n－1＋－n－1＋n－1 ＝－an－1－n＋1a＝－1， n－1＋n－1 ∴数列{a＋1＝4，公比为－1的等比数列。 ∴an－1 n＋n}是首项为a1n＋n＝4·（－1），即an＝4·（－1）n－1－n，∴{a1)n－1－n (n∈N* n}的通项公式为an＝4·(－)。 n （3）解 ∵{an－1 n}的通项公式为an＝4·（－1） －n (n∈N* )，所以Sn＝∑ak＝ k＝1 n n n n ∑[4·（－1） k－1 －k] ＝∑[4·（－1） k－1 ]－∑k＝4× 1－－ － ＋ k＝1 k＝1 k＝1 1－－2 ＝2[1－（－1）n ]－ 12 (n2 ＋n) ＝－n＋n－4n 2（－1）。 4．解 (1)因为S1211 n＝2＋2 n，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n＋5，当n＝1时a1＝S1＝6，满足上式，所以an＝n＋5，又因为bn+2－2bn-1＋bn＝0， 所以数列{bn}为等差数列，由S＋b 79＝ 153，b3＝11，故b7＝23， 所以公差d＝23－11 7－33，所以bn＝b3＋(n－3)d＝3n＋2，(2)由(1)知c3 n＝ 111n － n － － ＋ 212n－12n＋1，所以T1n＝c1＋c2＋…＋com＝111121－3＋35＋…＋2n－112n＋1 ＝11121－2n＋1＝n2n＋1，又因为Tn＋1nn＋1－Tn＝2n＋32n＋1＝＋ ＋ 0，所以{T1n}单调递增，故(Tn)min＝T13 而Tn＝ n2n＋1n2n121312n，Ta的最大值为1 nn∈[a，b]时3，b的最小值为12(b－a)＝111min236 5．解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，所以数列{an项和为Sn n}的前n＝f(n)－1＝2－1. 当n＝1时，ann－1n-1 1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2，对n＝1时也适合．∴an-1 n＝2. （2）由a＝2，b＝log，所以an-1 naan+1得bn＝nnbn＝n·2. T01＋3·22＋…＋n·2n-1 n＝1·2＋2·2，① 2T12＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n n＝1·2＋2·2② 由①－②得：－T0＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以T＝(n－1)2n n＝2n＋1. 6．解 本题主要考查等差数列、等比数列和利用不等式知识解答恒成立问题等知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，以及分类讨论的数学思想．解答存在性问题的基本策略是先假设存在，然后结合已知条件展开证明． （1）令p＝1，q＝n，则有an+1＝an＋a1，故an+1－an＝a1＝2，即数列{an}是以2为首项，2为公差的等 差数列，所以数列{a* n}的通项公式为an＝2n(n∈N)． （2)假设存在k(k∈N*），使得b 2* k、bk+ 1、bk+2成等比数列，则bkbk＋2＝bk＋1(k∈N)． 因为bln a* n＝n＝ln 2n(n∈N)，所以b＋ kbk+2＝ln 2k·ln 2(k＋2)<ln 2k＋ 2＋ 2 22＝ 22＋<22 ＝ [ln 2(k＋1)]2＝b 2b2* k＋1，这与bkbk+2＝k＋1矛盾．故不存在k(k∈N)，使得bk、bk+ 1、bk＋2成等比数列． （3）因为c111n＝a＝＝nan＋1＋41n1n＋1 ，所以S＝111n111 23 141－2＋＋…＋nn＋1＝ 41－1n＋1 ＝n＋n为偶数时，若对任意的n∈N*，不等式tSn n t<＋＋n4n＋9n＋10，而4n＋9n＋10≥4n·9n＋10＝64，当且仅当n＝9 n n＝3时，等号成立，故t<64； 当n为奇数时，若对任意的n∈N*，不等式tSn －＋n ＝4n－9n8，因为n－99nn的增大而增大，所以当n＝1时，n－n取得最小值－8，此时t需满足t<－64. 综上知，实数t的取值范围为（－∞，－64）。 7．(1)证明 假设存在一个实数λ，使{a2 n}是等比数列，则有a 2＝a1a3，即23－32＝λ49－4 ⇔492－4λ＋9＝42 9 λ－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列。 (2)解 因为b＝（－1）n+1[an+1n＋1－3(n＋1)＋21] ＝（－1）2 n＋13an－2n＋14 ＝－2n 23（－1）·(an－3n＋21) ＝－3 n. 又b* 1＝－（λ＋18），所以当λ＝－18时，bn＝0 (n∈N)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b2bn＋12* 1＝－（λ＋18）≠0，由bn＋13n. 可知bn≠0，所以b＝－ (n∈N)。故当λ≠ n3－18时，数列{b2 n}是以－（λ＋18）为首项，－3为公比的等比数列。 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. （1）设com＝an－1，求证：{com}是等比数列； 已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2（n∈N*）成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 a2n＋1若数列{an}满足＝p（p为正常数，n∈N*），则称数列{an}为“等方比数列”．甲：数an 列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3（n∈N*）． （1）证明：数列{an}是等比数列； 1．（2012·大纲全国卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝() A．2n1－3n－1B.2 1－22n－1C.3已知数列 篇6